Um exemplo bem didático...

Soma vetorial

Mas, e se houver vários vetores atuando em um único ponto? Nesse caso, você deve entender que a combinação das ações deles todos resultará em uma única ação – a ação resultante. É como se se substituísse todos eles por apenas um que realizará a mesma ação. A esse vetor, imaginário, chamamos ‘resultante’. E como determinar o vetor resultante? Fazendo-se a soma de seus efeitos na vertical e na horizontal, separadamente e, depois, recompondo-os. (Num intindi o que ele falô!).
É o seguinte: se houverem apenas vetores dispostos segundo os eixos x e y, basta que os somemos (considerando-se sua orientação) separando-se os horizontais dos verticais. Assim, tudo o que atuar no eixo vertical, será somado (para cima, positivo; para baixo negativo. É a convenção usual). O mesmo para o eixo y. Os resultados em x e em y serão as componentes do vetor resultante da composição dos vetores originais. Basta que se aplique Pitágoras a esses vetores, para que obtenhamos a sua recomposição, que resultará no vetor desejado. Evidentemente ele terá uma declividade em relação à horizontal. O ângulo que ele formará com o eixo x, por exemplo, poderá ser obtido utilizando-se as funções arco-seno, arco-cosseno ou arco-tangente (“o arco cuja tangente é...”) da calculadora, tomando-se, como se queira, dois dos três valores obtidos – os dois catetos (as componentes x e y) e a hipotenusa (o vetor resultante, final).
Mas, e se os vetores que atuam no sistema forem oblíquos? Normal! Basta decompô-los em suas parcelas horizontal e vertical e proceder às operações supracitadas.

Vetores - continuação

Caro estudante de engenharia... Vamos retomar nossos vetores.

Bem, primeiramente é preciso dominar as operações com vetores para avançar às aplicações físicas. Antes a Matemática, depois a Física. Em particular você precisará dominar a soma vetorial e, principalmente, a decomposição vetorial. Aliás, apesar de existirem outros métodos, a soma vetorial pelo método da decomposição é o mais intuitivo e, por isso, mais indicado em fases iniciais de aprendizado.
Decompor um vetor, nada mais é do que identificar qual par de forças realiza os mesmos efeitos que o vetor original (Eu não intindi o que ele falou!). Eu explico: imagine que você empurre com uma das mãos, uma mesa, a partir de uma de suas extremidades, com uma força de 20 kgf, estando seu braço inclinado com a horizontal, digamos, 60º. Essa força está inclinada, atua sobre a mesa obliquamente. Parte dela empurra a mesa para a frente (20kgf.cos60º), e parte a empurra para baixo (20kgf.sen60º). Como você deve intuir, a maior parcela de força está sendo realizada para baixo, o que torna pouco efetiva a sua tarefa de empurrar a mesa para frente. Aí você muda o ângulo de inclinação do seu braço, abaixando-se um pouco, tornando-o igual a 30º. A parcela que empurrará a mesa para baixo, agora, será: 20kgf.sen30º, e a porção que a deslocará para a frente será: 20kgf.cos30º, portanto maior, agora! Essas “parcelas”, são as componentes do vetor força original (20 kgf, direção: 30º com a horizontal, sentido: para frente e para baixo).
Portanto, as componentes são as parcelas horizontal e vertical que compõem, ou em que podem ser decompostos quaisquer vetores.
Agora, por óbvio, o que pode ser decomposto, pode ser recomposto! Assim, se você quiser tirar a prova se acertou na decomposição, basta recompô-lo. Para isso, você se utilizará do Teorema de Pitágoras. Sendo v o vetor original (não se esqueça de colocar uma setinha sobre a letra, que deve ser sempre minúscula), e x e y, suas componentes, você obterá v fazendo: v2 = x2 + y2, e isolando v, que deverá, salvo erros de arredondamentos (que você já deve ter visto em Teoria dos Erros), resultar exatamente no valor original (20kgf, no caso presente).


Dica: domine, mas domine mesmo, os fundamentos mínimos de Trigonometria!

Cálculo Vetorial - Preliminares

Não tem como escapar: se você pretende ser um Engenheiro, terá de dominar o Cálculo Vetorial. Sem ele, não se pode descrever em linguagem matemática – a única efetivamente universal no ramo da Engenharia! – os diversos fenômenos físicos sobre os quais se debruçarão os Engenheiros na busca por soluções técnico-econômicas viáveis.

Entretanto, umas das maiores dificuldades encontradas pelo estudante de Engenharia é a associação dos conceitos físico-matemáticos à fenomenologia. Em outras palavras: “pra que serve isso?”, ou então: “como isso se aplica na prática”, ou ainda, em ‘pânico’: “Eu num intindi o que ele falô”.

Nada errado nisso. Ao contrário, isso é natural nas primeiras fases do aprendizado. Há, no entanto, alguns artifícios e ferramentas que, se observadas e utilizadas adequadamente, garantirão atalho seguro para longe dessa etapa inicial. São conceitos que o estudante deve ter muito claro consigo. Sedimentados, fundamentarão o aprendizado técnico de forma satisfatória.

Um deles é entender o que é um vetor e qual a sua função.
Vetor não existe! É uma “construção mental”, um conceito. “Um vetor é um ente que se caracteriza por seu módulo, direção e sentido” – diz o professor. “F...!” – pensa o aluno.
Bem, de certa forma ele está certo. Principalmente se não atinar que essa “construção teórica” presta-se a um fim particularmente importante ao Engenheiro: representar grandezas físicas. Há grandezas físicas escalares e vetorias. Aquelas, se representam por um número apenas – uma quantificação de sua porção é suficiente. Assim, se se diz “tenho 1,80m de altura”, tudo mundo entende. Por quê? Porque altura (distância) é uma grandeza física escalar: pode ser representada por um único número, um escalar. Já, se se diz: “apliquei uma força de cinqüenta quilos (quilograma-força)”, a informação fica incompleta. Aplicou horizontalmente ou verticalmente? Ou obliquamente (inclinada)? E ainda: Aplicou a força, puxando ou empurrando. Percebe? Não há informações suficientes quando se diz apenas o número (módulo, escalar). É preciso também uma direção e um sentido. Assim é uma grandeza vetorial. Precisa de um módulo (número, escalar, quantificação, mensuração) , mas também precisa de uma direção (horizontal, vertical, inclinada a 30º com o eixo y) e de um sentido (indo, vindo; para cima, para baixo; entrando, saindo).

Por ora é só. Acrescentarei novos conceitos em breve. Mas advirto: se você acha que aprender disciplinas exatas consiste unicamente em exercitar cálculos, você estará em apuros em breve (se já não está!) e, provavelmente, tornar-se-á um engenheiro medíocre. Quer aprender? Leia! Estude a teoria. Apertar botão todo mundo sabe. A mágica que o botão apertado realiza, poucos entendem.

Exercício Estática II

Observações:

A resolução passa pela identificação do ângulo de incidência da ação da esfera superior sobre a inferior. Pela relação trigonométrica cosseno, obtém-se o valor de alfa (2R = a soma dos raios das duas esferas que estão em contato). A resolução anterior que propus, simplificava os cálculos por levar em consideração uma relação entre os senos e cossenos dos ângulos do problema, que são alternos internos - por conseguinte, iguais. Como tal resolução não se fez clara (ainda mais considerando-se que disponho apenas a via virtual para explicação), decidi abortar os métodos menos tradicionais que se apoiam em intuição e conceitos algébrico-trigonométricos, e resolver o exercício pela via tradicional (neste caso, mais laboriosa). Assim, para se obter a reação R1 da esfera superior sobre a inferior, precisa-se, primeiramente, obter a reação lateral da parede do recipiente sobre a esfera superior. A componente vertical (no eixo auxiliar y) de Rh, somada à componente vertical (no mesmo eixo) da força de 45N são numericamente idênticas à reação da esfera inferior sobre a superior, uma vez que se tocam num único ponto.

Exercício de Estática Resolvido - I

Observações:

Deve-se fazer o somatório de forças em x e em y, na peça central. Para isso, melhor criar um sistema de eixos auxiliares (x,y) e decompor os vetores-força que atuam sobre a peça nesses eixos. Cuidado com os ângulos! Como a peça tem um deslocamento polar (giro) de 30º em relação à horizontal, este ângulo orientará todas as decomposições vetoriais.